普林斯顿微积分读本 阅读笔记（草稿）
阅读前
即前一本书《Head First Java》，发现自己打算达成的学习节奏，步子迈的还是太大了，所以，这回的必要事项就仅仅只是阅读而已，然后每天的坚持阅读，其余的，比如视频类型的笔记，看兴趣进行。
而关于《普林斯顿微积分读本》这本书，只是想找个能最让我感兴趣的主题，也就是数学，然后又重新找了一本书。以往关于高数的内容，又看过大学的教材，但是那时的效率很差，后续，考研数学的数一，但是又鸽了，再之后，找了陈纪修出的《数学分析》，然年看到一半又鸽了。不知道有什么顾忌，所以，这回，想排除掉一切的顾忌，仅仅只是为看书而看书，在此，祝愿自己能达成吧。
以上。
阅读中
前言
关于微积分历史的书籍《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》，先记录下，后续感兴趣再看吧。
第 1 章 函数、图像和直线
这章与下一章算是学习微积分需要的前置内容，基本上都是高中数学课上的必修内容，所以也就简单的回顾下。
而这章的内容，讲的是函数已经函数相关的概念，有：函数的定义，【定义域、上域、值域】，【区间表示】，【函数的图像】，【反函数】，【垂线检测，水平线检测】，【函数的复合】，【奇偶性】，【线性函数图像】，【多项式、有理函数、指数/对数函数、三角函数、绝对值函数】。
因为都是基本概念，所以就不展开记录了。
第 2 章 三角学回顾
这章的内容是沿着三角及三角函数展开的，内容有：【弧度制概念】，【sin、cos、tan、csc、sec、cot】，【ASTC方法】，【任意弧度的三角函数】，【三角函数图像】，【三角恒等式】。
也基本都是高中学过的内容，所以也不展开记录了。另外读完这章，发现这本书没有习题，去网上了解了下，这本书更适合简单的去了解下概念，深入学习更适合用《托马斯微积分》（虽然也没看过），所以转变下看这本书的心态，由抱着学会微积分的坚决，改为看科普文的放松，似乎对现在的我来说，虽然不能一次性学完微积分，不过就养成学习习惯来说，这样更好。
20241108，早上，起床，洗漱，早饭，刷完 fgo 体力后，开看
第 3 章 极限导论
何谓极限，例如 $f(x) = x-1$，且 $x \ne 2$ ，对于这个函数，虽然 $f(x)$ 在 $x = 2$ 时无定义，但仍然能感觉到如果 $x$ 与 $2$ 越来越接近，那么函数值 $f(x)$ 也与 $1$ 越来越接近，故此，可以写为：
$$
\lim\limits_{x \to 2} f(x) = 1
$$
简单理解，这就是极限了。就算对于下面这个函数：
$$
g(x) = \begin{cases} x-1 & x\ne2 \\ 3 & x=2 \end{cases}
$$
虽然 $g(2) = 3$ ，但极限 $\lim\limits_{x \to 2} g(x) = 1$。
弄清，或者说大概知道极限是个什么东西后，之后就是基于这个极限拓展的一些知识点了，有：【左、右极限】，【极限的存在性】，【∞与-∞处的极限】，【垂直渐进线与水平渐进线】，【三明治定理（夹逼定理）】。
虽然没看附录相关的证明，但就这些事物的概念还能能比较直观的理解的。
待续。。
20241110，实际上第四章是昨天看到，不过今天在抽出时间记录
第 4 章 求解多项式的极限问题
讨论 $x \to \infty$ 时的有理函数、涉及平方根的函数， $x \to \infty$ 时的有理函数、类多项式函数的比， $x \to – \infty$ 时有理函数除以多项式函数，涉及绝对值的函数。且存在各种不定式，比如 $0/0$、$a/0$、$\infty/0$、$0/\infty$、$0*\infty$。
所以这章更偏向于习题的训练，需要通过各种因式分解、平方差、立方差公式对式子进行约分，使原式不再是不定时，再代入求解。
不过书中出的习题都是比较简单的，没什么弯子，虽然说能提起我的自信，不过还是不得劲。在之后看其他微积分相关的书时，重点关注下这部分的【问题】吧。
第 5 章 连续性和可导性
连续性相关的概念有：连续的定义，区间上的连续，介值定理，最大值与最小值。
可导性相关的概念有：切线，导函数，导函数的表示方式，高阶导数，存在性，左右导数，可导必连续。
导函数的表示方式如下：
$$
f^\prime(x) = \lim\limits_{x \to u}\frac{f(u)-f(x)}{u-x} \\
= \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
= \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\
= \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \\
= \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \\
= \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}
$$
高阶导数的表示方式如下：
$$
f^{\prime\prime}(x) = f^{(2)}(x) = \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^2}
$$
终于到导数了，书中通过证明函数的连续性开始，再通过瞬时速度作类比引出导数。
实际上在我第一次接触导数时，就被导数这一神乎其技的思想给惊艳到了，一个导数的概念直接联系了抽象的算式与直观的图像（常规意义的代数与几何？）。可以说我对微积分，或者说数学的念念不忘，除了她被标榜为“科学皇后”外，就是这直击人心的震撼与感动了。
在以往我对数学的观念，仅停留在为了针对高考的必修课所产生的一些奇巧淫技，而在真正的理解了何为导数之后，我才隐约窥探到到了数学这座冰山下的宏伟一角。直到现在，哪怕再一次接触导数，仍然难以不被其背后所展示的世界所吸引。
唯一可惜的是，以往学习数学都不是自发性的，基本是为了其他的目的而匆匆略过。而现在，再次明晰，虽然也有为了培养一个学习的习惯这个目的，但选择数学作为学习对象，仅仅只是想去攀登而已。
20241111，昨天说了那场大话，结果今天感觉学习状态特别不对劲，学另外一个 Unity 的也投入不进去
第 6 章 求解微分问题
如何通过导数的定义去求解导数，以及常用的求复合函数的导数公式，如下：
$$
(nx^a)^\prime = nax^{a-1}
$$
$$
(f(x)+g(x))^\prime = f^\prime(x)+g^\prime(x)
$$
$$
(f(x)g(x))^\prime = f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)
$$
$$
(\frac{f(x)}{g(x)})^\prime = \frac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{(g(x))^2}
$$
$$
(f(g(x)))^\prime = f^\prime(g(x))g^\prime(x)
$$
此外就是大量的例子了，另外也涉及了一些导数的应用，比如求切线方程，计算速度与加速度，通过导数计算极限，导函数的图像。